【迎向4G專欄 OFDM深度剖析(一)】
近年來，正交頻分多工(Orthogonal Frequency Division Multiplex, OFDM)技術以摧枯拉朽之勢，快速竄入無線區域網路(WLAN)、超寬頻(UWB)、非對稱數位用戶迴路(ADSL)、數位音訊廣播(DAB)、DVD、ISDB、手持式數位視訊廣播(DVB-H)與全球微波存取互通介面標準(WiMAX)等爆紅的應用層面，其所憑藉的優勢包括頻譜效益高、有效解決多路徑衰減問題及對窄頻干擾有較高的免疫力等，既滿足高速需求又能大幅降低干擾，可謂得天獨厚，在下一代4G無線傳輸技術的戰場上，OFDM自然不會缺席。本文藉由數位實驗，輕鬆揭開OFDM技術的神秘面紗。
邁向頻譜無價的無線戰國時代
OFDM最令人嘖嘖稱奇的奧妙之處在於「倍速傳輸」，它能在同一時間內，將N分資料經由一套射頻設備同步傳輸到接收端，也就是說，傳輸速率直接飆升N倍！但這個技術如渦輪碼(Turbo Code)一樣，是沉睡多年的懶龍翻身。
我們目前正處於無線通訊發展一日千里的二十一世紀，各種系統與應用紛紛出爐，為因應多媒體的需求，新一代技術的傳輸率被不斷地要求提升，頻譜拍賣的價格也一再飆高，但可用的空中頻道資源卻是捉襟見肘。
OFDM技術源於1960年代的多載波技術，頻分多工(FDM)以頻率小區段來分別使用各子載波，而子載波之間並不重疊，當時是以帶通濾波器來區隔各子載波的資料，其生產成本與頻譜效益並不夠好。
OFDM則是將子載波提前在基頻內將訊號分開，並在保持正交性的條件下讓每個子載波互相重疊，進而達到最佳的通道使用率，不過在當時高精度的振盪器不易製作，OFDM也只能紙上談兵。直到1971年，Weinstein和Ebert提出在基頻使用逆向離散傅立葉轉換(IDFT)進行調變，以及用離散傅立葉轉換(DFT)來解調的方式來實現，這才使得OFDM進入一個嶄新的領域。但IDFT/DFT所需的運算量極大，當時的計算技術只能用「望塵莫及」來形容，故而引發以逆/正向快速傅立葉轉換(IFFT/FFT)為主軸(圖1)的研究，藉著降低運算量來讓這個技術得以修成正果。但這快速傅立葉轉換仍舊複雜，因此這個曠世巨作終究還是被冰封長達30年之久。
揭開IFFT/FFT的神秘面紗
在當今半導體起飛與演算法不斷推陳出新的推波助瀾下，ODFM終於揚威立萬。但是為什麼IFFT/FFT能代替射頻濾波而能同時傳送許多頻段的射頻訊號呢？若把FFT用在傳送端，IFFT用在接收端是否也能得到同樣的效果？前面的問題可以用數學式子來推導，學理上看應是沒有問題，簡單一點也可以用時域、頻域轉換的特性一語帶過，但這對於實際物理意義的了解並沒有太大的幫助，甚至會讓不少工程師陷入困境，而「IFFT用在接收端是否也能得到同樣效果」的答案是否定的，但為什麼呢？於是，從「實驗數據看波形變化」的構想就此展開。
首先以WiMAX為例，因WiMAX基本上是用256點的IFFT來調變，通道編號是Ch0～Ch255，而我們一開始只對IFFT通道1(Ch1)的實部與虛部都輸入1，其他通道都不給值，等於0。試著將這樣得到的結果，按輸出編號順序描繪出一個圖，結果發現，實部與虛部竟然各自產生一個很漂亮的弦波 (圖2)，若將這個數位訊號直接提供給數位類比轉換器(DAC)，再升至射頻、從天線發送出去，那這個訊號在空中就是使用一個單一頻率的訊號。
根據合理的推測，如果用其他三組值來輸入，也就是分別測試(1,1)、(1,-1)、(-1,1)和(-1,-1)等四種狀況，這樣應該會得到相同頻率但相位不一樣的弦波(圖3)，因為有這樣的結果，才能確定Ch1只使用一個頻率，而四種資料是以相位來分辨，實驗後證明這個假設是正確的。
各個通道具備不同特質
有了上述的證據，似乎已能大膽立下結論：在發送端將訊號由序列轉成並列，提供給IFFT各個通道來進行調變，其所產生的輸出訊號再轉成序列，其不同的通道可代表空中傳輸使用著不同的頻率，而每個通道對映一個相對的頻率。但其他通道的頻率為何？與Ch1有何差異？256點的IFFT真的就有256個頻率可以使用？這還存在著一絲絲困惑。
在後續的幾個實驗，我們用64點的IFFT來進行，因為點數少比較容易觀察。一如預期，在Ch0所描繪的是一直線，也就是俗稱的DC，這是無法使用的，因為一條線沒辦法代表無線傳輸中的頻率。而在Ch2所繪出來的是2Hz，Ch3輸出的結果產生3Hz，…，Ch16也有著16Hz的輸出(圖4)，以此類推，每個通道的輸出都出現漂亮的弦波。正當實驗似乎已到達盡頭時，令人驚訝的事情發生了。
原本的想法沒錯，Ch1的頻率是1Hz，其他通道依其編號增加而增加，這個現象直到Ch32都正確無誤，但是到了Ch33，卻發現頻率非但不再增加，反而開始遞減。Ch33頻率與Ch31一樣、Ch34又跟Ch30一樣，一直到了Ch63(圖5)竟出現與Ch1一樣的頻率！這個現象不但難以理解，恐怕也將發生兩個通道搶占同一頻率的情形，這樣將造成接收端無法識別或降低傳輸效能的情勢。
高頻通道備而不用
正所謂「屋漏偏逢連夜雨，船遲更遇打頭風」，頻率的物理意義正陷入膠著狀態，伴隨著每個頻率繪製出的波形圖又發現問題。這個問題來自頻率下降的Ch32附近，也就是所謂的高頻區。
奇妙的是Ch32的波形完好無缺，而在它前後的波形都有異狀，圖6顯示Ch31的失真情形，波形中除了通道本身所擁有的31Hz外，竟然像又載了一個 1Hz的頻率在身上，而Ch30也情況類似，看上去同時有著30Hz與另一個2Hz的訊號交疊；另一方面，Ch33的波形圖竟與Ch31雷同、Ch34的波形圖竟與Ch30雷同！這不但使IFFT的運行變得複雜難懂，更讓OFDM系統顯得撲朔迷離。而先前下的結論「不同通道單一使用一個頻率」，也因此而蒙上一層陰影。
硬體設計工程師在研讀規範時，通常只是把規範讀完，照著去實現出來，並沒有去深究規範訂定時的內涵，這樣在未來的設計過程，總會缺少一些篤定。在各個 OFDM的系統規範中都對高頻通道(或稱Tone)設定不同的禁令，其規定多半是不使用該頻段或將其當成資料的重複備份用，這樣的規範與我們見到的情形可有關連？亦或只是一種巧合？這也是值得深究的問題。
負頻率導致高頻位置不同
上述的問題的確需要一些通訊背景，這也是一個設計部門需要團隊工作的重要原因，因為晶片工程師、系統工程師與軟體工程師，甚或測試/認證工程師，本就職司不同專業，但在研發進行時，卻須要相互結合，關係是密不可分的，若有私心或有所保留，或沒有不斷地追尋新知，則所做出的產品必然缺乏競爭力。
正如前面所見到的，IFFT確實有對稱關係，以WiMAX為例，Ch0是DC、Ch1與Ch255對稱、Ch2與Ch254也對稱，一直持續到Ch127 與129對稱，這個對稱是指頻率一樣，但實部與虛部的組合不一樣。若在輸入端同時有這對稱通道的輸入時，就會產生一個特例。這個特例有個特別的地方，那就是共軛對稱性。舉例來說，當Ch1輸入是(1,1)，而Ch255的輸入端是(1,-1)時，IFFT在這時候產生的虛部輸出波形，會因為這兩個通道的虛部輸出正好相反而抵消，而實部輸出波形會因為這兩個通道的實部輸出波形相同而加倍，其他對稱通道也有這樣的情形，這樣的對稱是很多人都知道的，但對於這個物理意義的區別，就鮮有人知了。
IFFT的輸出波形其實是由單位圓所衍生而來，Ch1的說明如圖7所示，圖右的橫軸代表I、縱軸代表Q，首先由第一象限(1,1)的位置沿著單位圓逆時針方向慢慢的畫一圈，並暫時忽略Q，而只觀察I軸的座標值的變化。此時I軸座標值由1開始遞減，直到碰到Q軸時，其座標值變成0，接著變成負數，然後穿過 (-1,1)點，進而到達I軸，此時I軸的座標值到達極小，在圖7左方可看到黑線的最低點；接下來I值開始遞增、穿過(-1,-1)、抵達Q軸、穿過(- 1,1)、再次抵達I軸，這時座標值成為極大，在圖7左方可看到黑線的最高點；之後再返回(1,1)這原來的出發點，值又向下減少，這樣由I軸座標值變化所繪製出來的，正是圖7左方的黑色實部曲線。而用相同的畫法去觀察Q軸座標值，把數值變化依序點在時間軸上，也就能得到圖7左方的灰色虛部曲線圖。
上述的表示方法是用於IFFT的前半部通道，對於後半部的通道則須要一點點修正。後半部通道也就是所謂的對稱通道，它們在頻率上所表現出來的波形與前半部並無二致，但其在輸出的描點方式卻正好相反。同樣的圓，也用同樣的出發點(1,1)，但卻以順時針方向來觀察I、Q兩個軸的變化，依上述同樣的步驟記錄下座標值，可以得到如圖8左側的兩條曲線。因其觀察方向相反，故而產生不同相位的變化，這在通訊上稱為負頻率，這也是為什麼IFFT的高頻部分在中間，而不是在最下面的原因。
描繪的點數不足導致失真
回到高頻區的古怪問題，在各個OFDM規範中對高頻的限制，來自濾波器無法達到理想狀態，故而在頻率較高的地方，會產生失真，而高頻區在基頻IFFT的對映上，是屬於中間部分，也就是實驗中看到有奇怪波形的地方。
波形應該表現如圖2～圖5所示，每個振幅的大小應該一樣，而不是像圖6的高低不平，而造成圖6「失真」現象的真正原因是描繪的點數不足。用圖中64點 IFFT的例子來說，可供描繪的點只有64點(座標軸值)，用64個固定間隔的點要繪出31Hz或30Hz的波形是有困難的，精確來說是沒辦法完成的，而 32Hz的正確性從何而來？這其實是因為32剛好是64的一半，描繪的點都在頂點上，故看起來是畫得很漂亮，其實它的弦波都已變成直線。
確實掌握實際物理意義
一個技術的物理意義對研發人員而言有絕對的重要性，無論在設計、優化或測試過程中，若能掌握實際的物理意義，將有助於快速了解規範、正確釐清問題，並能引導出優質的設計理念與激發新的創意。許多研究人員都希望深入探究OFDM的原理精髓，然而往往礙於通訊原理太過複雜或實際物理意義不易了解而半途而廢，實在是非常可惜，本文以純數位之方式解讀，讓工程人員可以輕易跨過這個門檻，俾能繼續向前邁進。