本文將討論天線旁瓣(Sidelobe)和錐削(Tapering，亦稱錐形漸變)對整個陣列的影響。錐削是操控單一元件的振幅對整體天線回應的影響。
錐削提供一種減少天線旁瓣的方法，但會降低天線增益和主瓣波束寬度。簡要介紹錐削後，本文會詳細說明與天線增益相關的要點。
傅立葉變換：矩形函數/sinc函數轉換
在電氣工程中，有各種不同的方法可以將一個域中的矩形函數轉變為另一個域中的sinc函數。最常見的形式是時域中的矩形脈衝轉換成sinc函數的頻譜分量。這個轉換過程是可逆的，在寬頻應用中，寬頻波形也可以轉換為時域中的窄脈衝。相位陣列天線也具有類似的特性：沿陣列平面軸的矩形加權按照正弦函數輻射方向圖。
應用此特性，以sinc函數表示的第一旁瓣只有-13dBc是有問題的，如圖1所示。
圖1 時域中的矩形脈衝在頻域中產生正弦函數，第一旁瓣僅為-13dBc。
錐削加權有效減少旁瓣
要解決旁瓣問題，可在整個矩形脈衝內使用加權(Weighting)處理。這在FFT中很常見，相位陣列中的錐削選項則是直接類比FFT中加權。但加權也存在缺點，它雖然實現減少旁瓣，但需要以加寬主瓣為代價，圖2顯示一些加權函數示例。
圖2 加權函數示例
波形與天線類比
從時間到頻率的轉換是很平常的，大多數電氣工程師自然會明白。但是，對於剛接觸相位陣列的工程師而言，如何使用天線方向圖類比在一開始並不明確。為此，本文以場域激勵取代時域訊號，以空間域取代頻域輸出。
．時域→場域
v(t)表示電壓是時間的函數；E(x)表示電場強度與孔徑中的位置呈函數關係。
．頻域→空間域
Y(f)表示功率譜密度是頻率的函數；G(q)表示天線增益是角度的函數。
圖3顯示這些原理，在此本文比較陣列中應用兩種不同加權的輻射能量。圖3a和圖3c顯示場域。每個點表示這個N＝16陣列中一個元件的振幅。在天線之外，沒有輻射能量，輻射從天線邊緣開始。在圖3a中，電場強度出現突變，而在圖3c中，電場強度隨著距離天線邊緣的距離增大而逐漸加大。對輻射能量造成的影響分別如圖3b和圖3d所示。
圖3 顯示變窄元件轉化為輻射能量加權的圖表；(a)對所有元件使用統一加權；(b)正弦函數在空間內輻射；(c)對所有元件使用漢明加權處理；(d)以加寬主波束為代價，將輻射旁瓣降低到40dBc。
本文將介紹影響天線方向圖性能的兩種附加誤差項。第一種是互耦。本文僅提出存在此問題，並且提供用於量化此影響的EM模型的數量。第二種是由於在相移控制中精度有限而產生的量化旁瓣。本文對量化誤差進行更深入的處理，並對量化旁瓣進行量化。
相鄰元件伴隨互耦誤差
這裡討論的所有方程和陣列因數圖都假設元件是相同的，且每個元件都具有相同的輻射方向圖。但事實並非如此，其中一個原因是互耦，即相鄰元件之間耦合。元件分散在陣列中與元件彼此緊密排列相比，其輻射性能會發生很大變化。位於陣列邊緣的元件和位於陣列中心的元件所處的環境不同。此外，當波束轉向時，元件之間的互耦也會改變。這些影響會產生一個附加的誤差項，天線設計人員需加以考慮，在實際設計中，需要使用電磁模擬器來表徵這些條件下的輻射影響。
波束角度解析度與量化旁瓣
相位陣列天線還有另一個缺陷，用於波束轉向的時間延遲單元或移相器的解析度是有限的。這通常利用離散時間(或相位)步長來實現數位控制。但是如何確定延遲單元、移向器的解析度或位數，以達到所需的波束品質呢？
與常見的理解相反，波束角度解析度並不等於移相器的解析度。從方程式1中，可看出其中的關係：
本文以整個陣列中的相移來表達這種關係，需要將陣列寬度D替換為元件間隔d。若將移相器ΦLSB替換為∆Φ，本文可粗略估算波束角度解析度。對於N個元件以半個波長間隔排列的線性陣列來說，波束角度解析度如方程式2所示。
這是背離瞄準線的波束角度解析度，描述當陣列的一半相移為0，另一半的相移為移相器的LSB時的波束角度。若不到一半的陣列透過編程達到相位LSB，則角度可能更小。圖4顯示使用2位元移相器的30元件陣列的波束角度(相位LSB逐漸增加)。波束角度增加，直到一半元件移相LSB，在所有元件移相LSB時歸零。當波束角度透過陣列中的相位差而變化時，這是有意義的，正如前面計算的那樣，此特性的峰值為θRES。
圖4 30元件線性陣列在LSB時的波束角度與元件數量之間的關係。
圖5顯示不同移相器解析度下θRES與陣列直徑(元件間隔為λ/2)的關係。這表明即使LSB為90°，非常粗糙的2位移相器，也可以在直徑為30個元件的陣列中實現1°解析度。依全陣列天線增益方程式針對30元件、λ/2間隔條件進行求解時，主瓣波束寬度約為3.3°，表示即便使用這麼粗糙的移相器，也能夠具備足夠的解析度。
圖5 移相器解析度為2至8位元時，波束角度解析度與陣列大小的關係。
那麼使用更高解析度的移相器又會得出什麼結果？從時間採樣系統(數據轉換器)和空間採樣系統(相位陣列天線)之間的類比可以看出，較高解析度的數據轉換器產生較低的量化本底雜訊。更高解析度的相位/時間偏移器會導致較低的量化旁瓣位準(QSLL)。
圖6顯示先前描述的編程採用θRES波束解析度角度的2位元30元件線性陣列的移相器設定和相位誤差。一半陣列設為零相移，另一半設為90°LSB。誤差(理想量化相移與實際量化相移之間的差異)曲線呈鋸齒狀。
圖6 陣列中的元件相移和相位誤差
圖7顯示同一天線在轉向0°和轉向波束解析度角度時的天線方向圖。由於移相器的量化誤差，出現嚴重的方向圖退化。
圖7 在最小波束角度下具有量化旁瓣的天線方向圖
當孔徑內發生最大量化誤差，其他所有元件都是零誤差，且相鄰元件間隔LSB/2時，出現最糟糕的量化旁瓣情形。這代表最大可能的量化誤差和孔徑誤差的最大週期。圖8顯示使用2位元30元件時的情況。
圖8 使用2位元30元件時的情況
這種情況在可預測的波束角度下，如方程式3所示。
其中n＜2BITS，且n為奇數。對於2位元系統，這種情況會在±14.5°和±48.6°範圍之間發生4次。圖9顯示該系統在n＝1，q＝+14.5°時的天線方向圖。在-50°時具有明顯的-7.5dB量化旁瓣。
除了量化誤差依次為0和LSB/2的特殊情況外，在其他波束角度下，rms誤差隨著波束在孔徑上的擴散而減小。事實上，對於n為偶數值的角度方程，如方程式3所示，量化誤差為0。若繪製在不同移相器解析度下最高量化旁瓣的相對位準，會出現一些有趣的方向圖。圖9顯示100元件線性陣列最糟糕的QSLL，該陣列使用漢明錐形，以便將量化旁瓣與所謂的經典開窗旁瓣(Windowing Sidelobe)區分開來。 在30°時，所有量化誤差都趨於0，這可以顯示為sin(30°)＝0.5時的結果。對於任何特定的n位移相器，在最糟糕位準下的波束角度在更高解析度n下會顯示零量化誤差。圖10可以看出描述的最差旁瓣位準下的波束角度，以及QSLL在每位元解析度下改善6dB。
圖9 系統在n＝1，q＝+14.5°時的天線方向圖
圖10 在2至6位元移相器解析度下，最差的量化旁瓣與波束角度關係。
2至8位元移相器解析度的最大量化旁瓣位準QSLL，如圖11所示，其遵循類似的數據轉換器量化雜訊規律，或每位元解析度約6dB，如方程式4所示，在2位元時，QSLL位準約為-7.5dB，高於數據轉換器進行隨機訊號採樣時經典的+12dB。
圖11 最差的量化旁瓣位準與移相器解析度的關係。
這種差異可以視為在孔徑採樣時週期性出現的鋸齒誤差導致的結果，其中空間諧波會增加相位。QSLL與孔徑大小不呈函數關係。
波束寬度/旁瓣挑戰
綜而言之，天線工程師面臨許多與波束寬度和旁瓣相關的挑戰：
．角度解析度需要窄波束
窄波束需要大孔徑，這又需要許多元件。此外，波束在背離瞄準線時會變寬，所以需要額外的元件，以在掃描角度增大時保持波束寬度不變。
．透過增大元件間隔擴大天線區域
此舉可以讓波束變窄且毋需額外增加元件，但是若元件分布不均，將導致產生閘瓣。可嘗試透過減小掃描角度，同時採用有意隨機顯示元件方向圖的非週期陣列，來利用增加的天線區域，同時大幅減少閘瓣問題。
．旁瓣問題
旁瓣問題可透過將陣列增益朝向邊緣逐漸減小解決。但這種錐削以波束變寬為代價，又會需要更多元件。移相器解析度會導致出現量化旁瓣，在設計天線時必須加以考慮。對於採用移相器的天線，波束斜視現象會導致角位移與頻率相互影響，進而限制高角度解析度下可用的頻寬。
本文探討錐削和量化誤差，並非針對精通電磁和輻射元件設計的天線設計工程師，而是針對在相位陣列領域工作的相鄰學科工程師，藉由直觀解釋，將有助於理解影響天線方向圖性能的各種因素。
(本文作者皆任職於ADI，Peter Delos為航空航太和防務部技術主管；Bob Broughton為防務部工程總監；Jon Kraft為資深現場應用工程師)