擺平波束偏斜/光柵波瓣缺陷　相位陣列天線揮別訊號失真

波束偏斜是使用相位移技巧時導致天線出現頻率失焦，本文運用波束偏斜，而非真實時間延遲來操控波束。另外在此還會討論這兩種操控方法的優缺得失，以及瞭解波束偏斜在一般系統上產生的影響。

光柵波瓣

本文目前僅提到元素間隔d=λ/2的例子，圖1顯示在相位陣列中λ/2元素間隔常見的原因。圖中顯示兩個案例，第一個以藍色代表的案例是30°，接著d/λ間隔提高到0.7，來顯示天線場型如何變化。在這個間隔增加狀況中，造成波束寬度縮小，其產生了正面的結果。縮減各零陷點(Null)之間的間隔讓它們彼此更靠近，也能產生可接受的結果。接著本文看第二個角度，在這個案例中為負70o，產生了最不好的全陣列增益結果。這個天線增益的複本定義成一個光柵波瓣，也可視為空間映頻混擾(Spatial Aliasing)。

為方便瞭解光柵波瓣，本文以採樣系統中的映頻混擾作比喻。在類比至數位轉換器(ADC)方面，到了規畫接收器架構的階段，經常使用低額採樣方法。低額採樣涉及到降低採樣率(fS)，透過採樣流程讓高於fS/2的頻率，屬較高奈奎斯特(Nyquist)區，像出現在第一奈奎斯特區的失真，造成這些較高頻率彷彿出現在ADC輸出端的較低頻率。

相位陣列的狀況也相當類似，各元素對波峰進行空間採樣。奈奎斯特理論可延伸到空間域，前提是每個波長中有兩個樣本－亦即元素，需要避免映頻混擾。因此，倘若元素間隔大於λ/2，能視為空間映頻混擾。

這些空間映頻混擾(光柵波瓣)究竟出現在何處？先前提到陣列各元素的相位差會與波束角成函數關係，如公式1。

........................公式1

反過頭來，可推算出波束角和相位差成函數關係，見公式2。

........................公式2

反正弦函數僅為引數產生介於負1與正1之間的實數解。若是超出上下限，求到的解就不是實數－這類似於試算表軟體的「#NUM!」函式。另外要注意的一點，是公式2中的相位是週期性，每2π重複一次。因此，本文可把∆Φ 換成波束操控公式中的 (m×2π+∆Φ)，即得到公式3。

........................公式3

這裡的m=0、±1、±2…。

為防止出現光柵波瓣，本文的目標是求出一個實數解。就數學而言，用的方法是保持如公式4。

........................公式4

這麼一來，所有空間影像(亦即m=±1、±2等)就會產生非實數的反正弦結果，這些都可以忽略掉，但如果不能這麼做，一些m>0的值就會產生反正弦結果，最終得到多個解－結果就是光柵波瓣(見下圖2)。

光柵波瓣在d>λ與λ=0°

這裡本文舉幾個例子以方便解釋。第一，在機械視軸的案例中，θ=0，而∆Φ=0。公式3可簡化成公式5。

........................公式5

從這個簡化過程可證，若λ/d> 1，且m=0，則引數的上下限會在負1到正1之間。之後該引數會變成0，arcsin(0)=0°，亦即機械視軸角為0，符合本文的期望。此外，若m≥1，反正弦引數會太大(>1)，得到的解就不是實數，當看到當θ=0而d<λ時不會產生光柵波瓣。

不過，若d>λ(因此λ/d就<1)能得到多個解，光柵波瓣便存在。舉例來說，若λ/d=0.66(因此d=1.5λ)，當m=0以及m=±1時，就會存在反正弦實數解。m=±1則是第二個解，代表訊號的空間映頻混擾，預期能看到3個主波瓣，其振幅約略相等，出現位置分別在arcsin(0×0.66)、arcsin(1×0.66)、以及arcsin(-1×0.66)。在角度方面，分別是0o與±41.3o。事實上，這和圖3陣列因素圖所顯示的如出一轍(見下圖3)。

光柵波瓣在λ/2

在簡化光柵波瓣公式(公式5)方面，目前先選擇檢視機械視軸(∆Φ=0)。首先，在視軸方面，若d<λ便不會出現光柵波瓣。但就以採樣理論比喻來看，應該也預期得知，當間隔高過λ/2時將出現一些光柵波瓣。那麼當λ/2

首先，先前發現∆Φ的範圍從0到±π，相位隨著操控角一起改變，隨之變化的則是主波瓣偏離機械視軸。因此下列公式6，為變動範圍。

........................公式6

........................公式7

而當|m|≥1，總是會產生有一些效應(見公式8)，

........................公式8

若是希望在所有|m|≥1的狀況讓整個反正弦引數維持>1，這就會限制了允許的最小λ/d值。在此需要考量兩種情況如下，

1.如果λ/d≥2(也就是說d≤λ/2)，那麼不論m的值為何，都不會有多個解。所有m>0的解會產生一個反正弦引數>1。而這也是避免光柵波瓣出現在水平方向的唯一辦法。 2.但若刻意把∆Φ限制在小於±π的範圍內，能容許比較小的λ/d值，而且也不會看到光柵波瓣，縮減∆Φ的範圍意謂降低陣列的最大偏轉角。

元素間隔影響

因為天線研發業者必須考量一項取捨因素，元素間隔並非永遠小於λ/2。若是波束完全偏轉到水平，θ=±90o，需要λ/2的元素間隔(若在可視半球範圍不允許有光柵波瓣)。但實際上，最大可用的偏轉角永遠小於90°，因為元素因素和大偏轉角出現了其他退降(Degradation)。

從圖2中發現，若y軸θ局限在縮減的極限範圍，造成光柵波瓣只出現不會使用的掃瞄角。若特定元素間隔(dmax)而言，縮減極限(θmax)的目標是維持(見公式9)。

........................公式9

本文利用公式9計算出現第一個光柵波瓣(m=±1)的地方。從這項改變接著利用曾計算∆Φ的公式，即為公式10。

........................公式10

還可簡化成公式11。

........................公式11

接著解算dmax(公式12)

.........................公式12

dmax代表的狀況是縮減後的掃瞄角(θmax)沒有光柵波瓣，這裡的θmax小於π/2(90o)。舉例來說，倘若訊號頻率為10GHz，便會需要偏轉±50o而且不會出現光柵波瓣，那麼最大元素間隔則為公式13(見圖4)。

........................公式13

限制最大掃瞄角，便自由延展元素間隔，進一步增加每個通道的實體尺寸，也能延伸特定數量元素的孔徑。這種現象的應用範例，針對相當窄的預定方向指派一個天線，能增加元素增益，藉以朝預先定義方向提高指向性，此外也能增加元素間隔，來構成較大的孔徑。兩種結果則是在較窄的波束角內達到更高的整體天線增益。

注意到公式3顯示某個波長的最大間隔，包括在零偏轉角的狀況。這會發生在可視的半球中，不允許光柵波瓣的狀況。以地球靜止衛星(GEO Satellite)為例，從機械視軸來觀察，整個地球的偏轉角為9°，只要衛星不落到地表，或許可以容許光柵波瓣。在這類狀況中，元素間隔可能達到數個波長，導致波束寬度更窄。

另外，天線架構也是值得一提的面向，它能產生非均勻的元素間隔，協助克服光柵波瓣的問題，這些被歸類為非週期性陣列，其中，空間陣列就是明顯例子。基於組建機械式天線的各方面原因，業界希望利用通用型組件能夠擴充至更大的陣列，但這也可能產生一個均勻排列陣列，同時受到上述光柵波瓣狀況的限制。

波束偏斜

先前文章曾介紹波峰如何接近元素陣列，波峰角θ的元素和視軸之間存在時間延遲，在單一頻率情況下，可用相位移來取代時間延遲，藉以操控波束。這種方法雖然在窄頻波型有效，但寬頻波型中，波束操控是由相位移產生，而波束偏轉的方向與頻率成函數關係。由於時間延遲是一種線性相位移與頻率的關係，便直覺地將其解釋，因此對於波束方向而言，所需的相位移會隨著頻率函數改變，或者反過來說，對於相位移而言，波束方向會隨著頻率函數而改變，波束角隨著頻率函數改變，這種概念稱為波束偏斜(圖5)。

接著討論視軸的面向。當θ=0時，元素之間沒有相位移，便無法產生任何波束偏斜，因此，波束偏斜的量必須和θ角，以及頻率偏移呈函數關係。圖5顯示一個X波段的例子，在此例子中，中心頻率為10GHz，調變頻寬為2GHz，很明顯可看出波束改變方向與頻率以及初始波束角呈函數。

波束偏斜可直接計算。使用公式1與公式2，波束方向偏移、波束偏斜的計算公式為公式14。

........................公式14

這個公式顯示在圖6。在圖6中，刻意顯示f/f0比值。前個公式的倒數(f0/f)提供一種更簡單的方法，以圖像呈現相對於中心頻率的變化。

波束偏斜特性包括：波束角與頻率的偏離幅度，隨著波束角遠離視軸而加大；低於中心頻率的頻率，造成偏移的幅度大於比中心頻率還高的頻率所造成的偏移；低於中心頻率的頻率，把波束拖離視軸等。

造成波束偏斜、偏轉角與頻率的偏差，主要是相位移的時間延遲，然而，若利用真正時間延遲單元來建置波束操控，便有效地解決此問題。

既然如此，波束偏斜問題顯而易見，為何多數人仍選擇使用移相器而非時間延遲單元？大部份原因是移相器與時間延遲元件相比，具有設計簡易性和IC易得性的優點，時間延遲機制一般建置在傳輸線路方面，總共需要的延遲與孔徑尺寸成函數關係。目前為止，大多數在市面上的類比波束成形IC都以移相器為基礎，現今許多廠商也陸續推出真正時間延遲IC，在相位陣列建置方面逐漸普及化。

在數位波束成形方面，真實時間延遲機制可建置在DSP邏輯以及數位波束成形演算法。因此，每個元素進行數位化所依賴的相位陣列架構，自然就能克服波束偏斜問題，同時還提供可程式化的彈性。然而，解決方案的功耗、尺寸、以及成本都可能存在問題。

在混合波束成形中，結合配合子陣列的類比波束成形，以及配合全陣列的數位波束成形。這種方法在抵銷波束偏斜方面可以提供一定程度的效果，因此值得考慮採用。波束偏斜只受到子陣列影響，子陣列的波束寬度要大得多，因此也更能容許波束角偏移。因此，只要容許子陣列波束偏斜，混合式波束成形架構就能連同相移器進行建置，在此之後才是數位波束成形的真正時間延遲。

(本文作者為ADI技術經理、工程經理、資深應用工程師)