低取樣速率或違反nyquist定理等方式，是射頻通訊及示波器等高效能測試設備在ADC應用中常用的一些技巧。而這也是個「模糊」地帶，常讓人無法確定是否該遵守nyquist定理，以便從一個訊號中擷取裡面的資訊。這篇文章描述了低取樣速率的作業程序，以及其在行動電話基地台和直接射頻後轉換接收器等特定應用中的優勢...
經由驗證Nyquist及Shannon定理的過程中，可以瞭解到，所選取的ADC取樣頻率，對於最大輸入訊號頻率與輸入訊號頻寬的比值，有非常直接的關連性。
對於Nyquist定理，有許多不同的描述方式，其主要的內涵是在相同的時間間隔下進行取樣時，如果要保持重建的類比訊號波形沒有任何失真的情況，則取樣的頻率必須大於或等於類比訊號中，所出現之最高頻率的兩倍。因此對於最高訊號頻率為fMAX的類比訊號fa，最低的取樣頻率fs必須高於或等於2× fMAX。Fs≧2×fMAX。
而最簡單的類比訊號就是一個正弦波，其中的訊號能量都集中在同一個頻率上。在現實生活中，類比訊號中通常包含了許多波形，很複雜且具有不同頻率的波動或共振內容。以一個方波為例，其中包含了無數的奇數項共振波，再加上其基本的頻率；因此若要重複、精確地從包含許多頻率的樣品中，複製出一個方波，則根據 Nyquist定理，取樣的頻率就必須高出方波之基本頻率許多倍。要注意的是，在fs的取樣速率下對一個類比訊號fa進行取樣時，實際上是產生兩個相互有關連的分項；其中一個是fs+fa，而另一個則是fs-fa(圖1)。
由於第一個相關的分項通常落在nyquist頻寬(通常表示成fs/2)以外，因此很少會造成任何問題。但是對第二個分項而言，因為可能會落在 nyquist頻寬以內而影響到要擷取出來的訊號，可能會造成一些問題。而根據取樣系統的關連情況不同，nyquist條件會需要fs＞fa的取樣速率，以避免相互關連的項目會與第一nyquist區間有所重疊。為了避免不必要的干擾，任何落在主要頻寬以外的訊號，無論是假的音頻或隨機出現的雜訊，都應當在取樣之前加以過濾掉。這也解釋了為什麼在許多取樣系統中，都需要可過濾掉關連頻率的濾波裝置，但是筆者會在之後的次要取樣部分，說明一些已經被採用，並將關連性有效使用在訊號處理應用中的範例。
以一個最高頻率為10MHz的訊號微粒，nyquist規定取樣頻率需要到20MSPS(每秒百萬取樣點)，才能夠在沒有任何失真的情況下，重建整個類比訊號。但是您可以很快就看出nyquist定理的極限。Nyquist假設所需要的資訊頻寬等於nyquist頻寬，或者是取樣頻率的一半。在圖1的例子中，如果類比訊號fa的頻寬低於fs/2，則可以在低於nyquist速率的情況下進行取樣，而仍然避免與主要之訊號造成關連性或形成干擾的情況。您可以瞭解到，所需要的最低速率實際上是輸入訊號頻寬的函數，而不僅僅與其最高的頻率項目有關而已。而Shannon定理可以更進一步地進行檢測。
若要對頻寬為fb的類比訊號進行取樣，則其取樣速率必須符合fs＞2fb的條件，以避免遺漏其中的資訊。訊號頻寬可能從直流到fb(基本頻帶取樣)，或者從f1到f2，其中fb=f2-f1(低取樣速率)。
因此Shannon定理中提到，實際所需的最低取樣頻率是訊號頻寬的函數，不僅僅是其最高頻率分項的函數而已。一般而言，取樣速率必須至少是訊號頻寬的兩倍，且被取樣的訊號不能是fs/2的整數倍，以免會與相關連的項目重疊。請注意，在fMAX(類比訊號最高頻率分項)與訊號頻寬B比值較高的情況下，最低的取樣頻率會接近2B。
在許多應用中，這會大幅減少對於所需之ADC及其要求。若要針對一個最高訊號頻率為150MHz，但是其頻寬為10MHz的訊號進行取樣，則可能需要22MSPS ADC，而不是nyquist所規定的>300MSPS ADC。
以一個在頻率範圍160～170MHz之內，且頻寬為10MHz的訊號為例。依照Shannon來說，假設取樣速率為30MSPS。由於取樣作業流程的關係，在所有30MHz之整數倍的頻率都出現其他的取樣頻率，例如60MHz(2fs)、90MHz(3fs)，一直到180MHz等等。而在160MHz 及170MHz之間所要採用的訊號，會與這些頻率的共振頻率fs、2fs、3fs等有所關連。請注意，這其中每一項相關連的分項，實際上都與原始訊號是一樣的。在30MSPS之下進行取樣，最後是讓在160～170MHz的訊號，回歸到nyquist的第一區段，也就是0～10MHz的範圍。
從這個範例中您可以得知，在ADC輸出端的FFT中，可以出現的最高頻率分項，會低於或等於取樣頻率的一半。換句話說，由於共振回歸或低取樣速率的原因，每一個在nyquist頻寬以外的ADC輸入頻率分項，通常都會回歸到第一nyquist區段中。這可以由以下的公式來表示。次要取樣在實際運作的電子系統中有許多的應用方式，而低取樣速率最常見的應用之一，就是數位接收器。
(此處算式請見新通訊48期2月號第63頁)
首先我們要進一步解釋次要取樣的流程。次要取樣或回歸的流程，可以被想像成是將ADC輸入訊號，與取樣頻率和其共振頻率混合起來。這表示可以混合許多頻率，甚至是直流的項目，且最後根本無法看初期原始頻率。以取樣頻率為66MSPS為例，在66-6、66+6、126、136MHz等頻率的輸入訊號，就會全部混合到6MHz(圖2)。每一個取樣對照內容，都會回歸到
以使用射頻載子頻率為歐規900MHz，以及美規1800MHz的GSM/EDGE基地台為例，行動基地台的接收鏈就如圖3所示。高頻射頻載子的訊號會先在混合器以及區域共振器中進行降階轉換，變成範圍在150～190MHz的IF頻率，以便完成類比到數位的轉換作業。而由前面的Shannon定理可知，所需要的取樣頻率是訊號頻寬的函數，或者在GSM/EDGE系統中是200kHz。在GSM系統中的動態範圍規格內，幾乎所有的情況下都是使用最低10位元到12位元的ADC解析度。即使目前市面上有許多的高速ADC，數位接收器系統設計人員在進行選擇的時候，還是必須考慮到系統動態範圍需求以及元件的成本費用。因為上述的原因，使得取樣速率在50～70MSPS的ADC，是GSM接收器中最常見的選擇。雖然在150～190MHz的訊號在例如 66MSPS的條件下進行低取樣速率作業(使用National ADC、雙12位元66MSPS ADC)，在所要求的200kHz訊號頻寬下，還是沒有違反Nyquist定理。這樣使得200kHz頻寬資訊訊號還有許多發揮的空間，同時可提供超過 20dB的作業增益。要注意的是，因為種種的原因，一直藉由提高取樣頻率來提升作業增益，是不切實際的作法。而現在已經有取樣速率超過12位元ADC的產品，如12位元80MSPS ADC(National ADC12L080)，且有某些>100MSPS的12位元ADC可以適用於一些特殊的應用。但是100MSPS取樣速率以下的ADC，與> 100MSPS取樣速率的ADC之間，在價格上仍然有極大的差距。
ADC雜訊效能常會受到熱雜訊的限制，因此在確定ADC後，雜訊頻寬通常會被定義程式nyquist頻寬。當FS=66MSPS時，整體的雜訊值量測結果，會以相對於特定輸入訊號頻率之33MHz頻寬，在完全輸出情況下的dB值(dBFS)來表示。對於ADC12L066而言，在150MHz輸入訊號頻率下的整體雜訊值是-62dBFS。但是在過濾ADC輸出時，會導致非常窄的頻寬。例如National數位下載轉換器CLC5903，其濾波過程可提供雜訊作業增益，同時是頻寬縮減量的函數。200kHz的頻道濾波器，會產生以下的作業增益。
(此處算式請見新通訊48期2月號第64頁)
這個等式是假設ADC輸出上的濾波器，可以過濾掉關連的項目以及接近Fs的雜訊。因此在200kHz頻寬的ADC輸出雜訊就會變成：
-62dBFS+(-25.2dB)=-87.2dBFS.
如何針對應用來選擇正確取樣速率的ADC，需要先對於轉換過程中的最高類比頻率有一些認識。Shannon定理告訴我們，訊號頻寬也是非常重要的一項考慮因素。我們也發現在高於Shannon的速率下進行取樣，也會帶來一些優勢，例如作業增益所導致的動態範圍大幅提昇。有了這項知識，系統設計人員就可以依此不斷穩定發展價格合理的標準ADC，來選擇最正確的ADC取樣頻率和解析度。