演算法修正/抗電離層誤差　高精度GPS單點定位有訣竅

雖然「單點定位」是最直接的測量方法，但為了提高精確度，必須消除許多誤差。理論上，PPP系統只需要一台GPS接收器，如圖1所示，但其實PPP是充分利用了一些遍布於全球的參考站(Reference Station)所提供的GPS衛星的軌道位置和GPS衛星的時脈差進行修正，藉此達到公分等級的高精確度。並且PPP不受地理位置限制，即使在南北極和大氣層也可以使用。

PPP和RTK的不同處

PPP和RTK的主要差別可以簡單歸納出以下幾點：

PPP系統的GPS接收器附近不需要有參考站，但須在全球設置參考站。因此，PPP不像RTK會受到GPS接收器與參考站之間距離的限制，這個距離稱為「基線(Baseline)」。

一般而言，PPP系統的精確度比RTK系統高。PPP可以達到3公分等級的精確度，RTK只能達到10公分。

一般來說，使用PPP系統得出高精確度的位置座標，所花費的時間比RTK長。

且PPP比RTK更容易受到電離層和環境因素影響。

PPP消除誤差的方法包括：使用雙頻(Dual-frequency)載波移除電離層誤差、從外部輸入修正誤差的數據、模型化、精密的單點定位「卡爾曼濾波(Kalman Filter)」演算法。

何謂雙頻載波

公式1和公式2是含有高階項(第二、第三階)的「電離層(Ionosphere)」誤差，分別能求出「虛擬距離(Pseudo-range)」與「載波相位」的觀測公式。Pi是使用i載波頻率和編碼測距所求得的「虛擬距離」，單位是公尺。Φi為使用i載波頻率所求得的載波相位，單位是公尺。

 ρ是幾何距離，也就是GPS衛星到接收器之間的真實距離，單位是公尺。c是光速。而dt是接收器的時脈偏移(Clock Offset)，單位是秒。 dT是GPS衛星的時脈偏移，單位是秒。dorb則是GPS衛星的軌道誤差，它是被投影到GPS衛星和接收器之間訊號傳輸方向(視線(Line of Sight))上測量的，單位是公尺。至於dtrop，是對流層(Troposphere)誤差，單位是公尺。

其中，Ii,1 、Ii,2 、Ii,3分別是使用i載波頻率求出的第一、第二、第三階的電離層誤差，單位是公尺。Bi則是使用i載波頻率求出的「相位模糊(Phase Ambiguity)」，包含GPS衛星和接收器的「初始相位偏差(Initial Phase Bias)」和「相位的硬體延遲偏差(Hardware Delay Bias)」，單位是公尺。此外，bPi是編碼測距使用i載波頻率時的「硬體延遲偏差」，單位是公尺。εPi和εΦi分別代表編碼測距和載波相位測距的雜訊，包含「多路徑干擾(Multipath Interference)」造成的雜訊，單位是公尺。

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公式1和公式2中的第一、第二、第三階項的電離層誤差Ii,1 、Ii,2 、Ii,3可以分別表示為公式3、4、5。fi是第i個載波頻率。ne是電子密度。∫neds是訊號傳輸路徑上的「總電子含量(Total Electron Content, TEC)」。STEC是GPS衛星和接收器之間視線內的「傾斜總電子含量(Slant Electron Content)」。B是在「電離層穿透點(Ionospheric Puncture Point, IPP)」上的「磁感應強度(Intensity of Magnetic Induction)」。Θ是訊號發射方向和地球磁場方向的夾角，而Nm是在電離層高度為H的最大「電子密度」。

如公式1所示，由於「第一階項(First-order)」的電離層(Ionosphere)誤差I1所造成的延遲是與「載波頻率(Carrier Wave Frequency)」的平方成反比。而且，在非極端情況下，GPS衛星發射「雙頻載波」訊號可以消除「第一階項」的電離層誤差。

...........................(3)

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I1占了99.9%的電離層總誤差，所以若移除了I1，幾乎可說消除了電離層誤差。公式6是使用「雙頻載波」f1和f2移除了I1後的「去電離層誤差組合(Ionosphere-free Combination)」公式，藉此公式可以求出移除I1後的「虛擬距離」PC和「載波相位」ΦC。

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由於PC=αP1+βP2和ΦC=αΦ1+βΦ2，可知PPP移除I1的方法並不是像RTK一樣單純地將位置相鄰的兩台GPS接收器的測量值相減，而是存在由頻率f1決定的常數α和β，而且PC與 P1 、P2的相關性是線性的，ΦC與Φ1 、Φ2亦然。

利用公式6可以輕易移除I1，不須考慮公式3中的STEC。這是因為不同射頻頻率(Radio Frequency)在電離層中的折射誤差(Refraction Error)不同，公式6就是充分利用了這個特性。

移除高階項電離層誤差

若為了追求最高的定位精確度，必須移除剩餘的0.1%的電離層誤差。也就是說必須將I2和I3一起移除。在公式4、公式5中，I2、I3都與STEC相關。為了求出STEC，必須先求出「垂直總電子含量(Vertical TEC, VTEC)」。圖2是電離層的「單層模型(Single Layer Model)」，這模型假設所有的自由電子都集中在厚度極小的電離層內。H垂直線位於地球表面上的GPS接收器的正上方，它代表這個電離層的厚度或高度。「垂直總電子含量(VTEC)」是在電離層穿透點(IPP)上，透過「映射函數」MFI求出，如公式7所示。  

...........................(7)

國際GNSS服務組織(International GNSS Service, IGS)有提供全球電離層圖(Global Ionospheric Maps, GIM)，涵蓋全球任何地方和任何時間，如圖3所示，這是一個VTEC地圖。使用GIM再透過公式7就可以算出STEC。

使用雙頻載波移除I1誤差後，I2和I3誤差仍然存在。所以，使用公式8的PIF和 ΦIF比使用公式6「去電離層誤差組合」公式計算出來的PC和ΦC更精確，因為PIF和 ΦIF已經移除了I2、I3，但不考量其他誤差。

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同時必須使用公式9和公式10分別取替公式4和公式5。使用雙頻載波移除I1誤差後，第二、第三階項的電離層誤差應該分別是IIF,2和IIF,3。這裡的IF不是指「中頻(Intermediate Frequency)」，而是Ionosphere-Free的縮寫。

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計算定位精確度

影響GNSS定位的所有誤差稱為「用戶等效測距誤差(User Equivalent Range Error, UERE)」，其值由GNSS接收器的設計方式和所處的地理位置而定。UERE由「空間信號測距誤差(Signal-In-Space Range Error, SISRE)」與「用戶設備誤差(User Equipment Error, UEE)」兩個部分組成。UERE和「精確度衰減因子(Dilution Of Precision, DOP)」構成了一個理想的誤差模型，可以用來評估GNSS的性能和可能導入的誤差大小。UERE與DOP的乘積，稱為「用戶導航誤差(User Navigation Error, UNE)」。它們之間的數學關係如公式11所示。

...........................(11)

簡言之，UNE就是表示GPS定位的精確度。SISRE是UERE的重要部分，它代表了GPS衛星對接收器廣播的「軌道數據(Ephemeris Data)」對測距誤差所造成的影響。公式12是計算SISRE的公式。其中，c是光速，T是時脈偏移。

...........................(12)

如圖4所示，R是「徑向(Radial Direction)」(至地球圓心的方向)的軌道誤差)，A是沿著軌道切線方向的軌道誤差，C是垂直於軌道方向的軌道誤差。此外，對GPS而言，α是0.98，β是49。圖5是公式12的幾何圖示。

圖6中的ε是由「非徑向軌道誤差(Non-radial Orbit Error)」H造成的最大測距誤差。簡言之，這H相當於圖5中的 =(-C,A,-R)。當GPS衛星的位置平行於地球水平面方向時，因「非徑向軌道誤差」造成GPS衛星軌道誤差值ε為最大，此時ε等於0.24H。

認識卡爾曼濾波演算法

使用卡爾曼濾波演算法，可以估算出GPS接收器的位置和速度。狀態函數t(p,v)包含了位置p和速度v兩個變數。於t 狀態下，還伴隨著預估這狀態的「共變數(Covariance)」t。t和t是同時存在的。t是一個統計用矩陣，表示t的預估準確度。下一個「瞬時點(Epoch)」，進入「先驗(a priori)」狀態的t+1和t+1。在這個新時間點，預估作業並沒有輸入新的真實數據，而是執行「時間傳播(Time Propagation)」。

公式13是新狀態的預估方程式。t+1是目前的狀態。Φt+1,t是從t過渡到t+1時的狀態轉移矩陣，透過時間來傳播狀態預估和共變數。t+1是被傳播到下一個瞬時點的新狀態，而且是在它與新測量值結合之前。新共變數t+1也是透過時間傳播，公式14是新共變數的預估方程式。輸出 t+1時，同樣沒有輸入新的真實數據。Qt是時間的傳播誤差，本質上Φ矩陣的預估準確度是受 Qt影響的。

...........................(13)

...........................(14)

當來自監測站的新測量數據循序加到公式13和公式14後，就產生新的t和t，記作t+1和t+1，它們分別是t+1和t+1的正確版本，這個步驟稱為「測量更新(Measurement Update)」。狀態矩陣的更新公式如公式15所示。(－Ht+1t+1)代表剩餘向量()。代表新數據向量。K是卡爾曼增益矩陣。K可由公式16求出。R是測量雜訊的共變數矩陣。H是觀測偏微分矩陣，它是觀測數據(z)和預估狀態X矩陣之間的線性函數。共變數矩陣的更新公式如公式17。

...........................(15)

..........................(16)

...........................(17)

目前國外的衛星業者普遍採用「擴展卡爾曼濾波(Extended Kalman Filter)演算法」，它兼具「確定模型」和「不確定模型」的優點。使用「確定模型」可以透過「狀態轉移矩陣」Φ，持續預估GPS衛星的狀態和共變數。除了隨機的時脈誤差之外，包括徑向/切向/法向軌道的「擾動(Perturbation)」，以及太陽輻射造成的擾動，都可以利用隨機的「不確定模型」做定性分析，透過不斷地對Qt微調，精確地預估GPS狀態。因此，「擴展卡爾曼濾波演算法」的使用靈活度很高，而且在每個瞬時點進行運算時，不需要很多電腦資源。圖7是採用了擴展卡爾曼濾波演算法的即時PPP系統。