選對電磁模擬演算法　高頻電子系統驗證加速

2012-03-05

黃彥鈞

高頻與高速電子系統的設計複雜度與日俱增，也使得工程師使用電磁模擬軟體的需求度不斷增加，藉由優異的軟體來預先萃取正確的模型，進而預先確定系統是否符合設計的要求。

然而，電磁模型萃取的方式有許多的理論，尚未有哪一種理論的準確度與效率擁有絕對優勢，不同的演算法有不同的優點，並且適用於不同的應用。

本文將針對矩量法(Method of Moments, MoM)、有限元素法(Finite Element Method, FEM)、有限時域差分法(Finite Difference Time Domain, FDTD)三種較為成熟的演算法進行討論(圖1)，同時以實際模擬案例來輔助說明。

圖1　三種主要電磁模擬技術

MoM分析多層平面結構

MoM是頻域(Frequency Domain)的一種演算法，本身演算法的特質讓MoM適合用於分析多層平面結構的問題，如印刷電路板(PCB)的走線分析、系統級封裝(SiP)和積體電路(IC)的基底分析。

在眾多的電磁模擬理論當中，MoM是其中一種比較不容易用軟體實現的演算法，因為此種演算法必須很有技巧地先解決格林函數(Green's Functions)和電磁耦合的積分方程式。馬克斯威爾(Maxwell)方程式會轉換成積分方程式，此種轉換的特性就是，MoM主要的未知項目是在金屬表面的電流分布，而其他電磁模擬主要的未知項目是解構體中的電場或磁場。

圖2　MoM表面網格技術於3D Planar結構

由於只有金屬表面的電流分布是須要被考慮到網格中(圖2)，因此網格數目可以大量降低，這項技巧讓MoM可以更有效率地計算複雜的結構，但也被限制於只能分析多層平面的問題(3D Planar)，遇到三維(3D)立體結構就不適用。

隨著電子產品複雜度的提升，電磁模擬碰到運算時間過久而無法解決複雜度高的問題。完成電磁模擬要做大量的矩陣運算，針對MoM而言，主要的瓶頸在於如何運算和存取大量的耦合矩陣。一個有N個未知項目的網格，在記憶體中就必須花費掉N²比例的空間，同時矩陣運算時間會成N³(如果使用Direct Solver)或N²(如果使用Iterative Solver)的比例增加。

這幾年主要的突破在於矩陣運算的技巧可以演進到NlogN的比例，這對於MoM的記憶體消耗與運算時間來說，都有大幅度的改進，因此能夠解決複雜度更高的問題。圖3是安捷倫(Agilent)Advance Design System(ADS)軟體在不同年分演算法的改進與模擬速度的參考值。

圖3　安捷倫ADS軟體中MoM演算法的演進表

圖4　Differential via在十六層印刷電路板

由於NlogN演算法的使用，MoM處理多層平面問題的能力大幅度提升，如圖4所示，模擬一塊十六層印刷電路板的S-par，模擬頻率到20GHz，此例子可以展現MoM的優勢。在此例子的地平面(Ground Plane)中只須針對Via Anti-pad Holes來切網格，因此整個矩陣須要運算5,539個未知點。這樣寬頻的S-par在一個標準四核心Linux的電腦上只需不到10分鐘的時間就可以運算完成(模擬軟體版本為安捷倫ADS2009U1)。

FEM應用範圍廣泛

圖5　含有Bond wire打線的3D QFN封裝應用

相對於MoM，FEM演算法的應用範圍就非常多，因為FEM是全3D的演算法可以針對任意形狀的結構來分析，例如封裝結構中的Bond-wire、Solder-balls或是其他Z軸方向是任意型態的結構。此外，FEM還可以計算有限基底(Finite Substrate)的問題，像是腔體結構就需要這樣的功能。但是，FEM通常模擬時間比MoM久，尤其是在多層平面結構的部分。圖5顯示典型含有Bond-wire的封裝方法，就是適合FEM而MoM不適合分析的結構。

圖6　FEM立體網格示意圖

FEM演算法會把一個大的結構分成上千個小的區域，並且藉由立體的網格方式來運算每個小區域的場值。而立體的網格是由大量的三角錐體所構成，三角錐的頂端正切於三個邊的場量，和每邊的中心點的場量都會被儲存下來。而每個三角錐內部的場型就可以透過內插方法來運算。透過這樣把大結構轉換成小結構的方式，馬克斯威爾方程式就可以轉成矩陣的問題，並且透過數學運算萃取出任意形狀的S參數(圖6)。

FEM判斷收斂的方法通常是藉由前後兩次運算結果比對，如果誤差範圍小於一定規範，就可以判斷是趨近於收斂。如果誤差還是過大，將會重新定義網格讓網格密度提高以增強收斂性，但在立體結構體中，有些區域如結構表面、角落、材質交會介面，會有收斂性不佳的情況，導致FEM演算法會消耗掉大量的記憶體與運算時間。所以近幾年除藉由支援多核心的運算外，改進結構的收斂性與矩陣求解效率也是很重要的議題。

LQFP是一種常用且成本較低的封裝方式，然而這種封裝結構不是針對高頻應用來做設計。但由於其成本低廉，所以有許多客戶想使用這樣的結構在高頻的應用。針對FEM，就舉一個LQFP的例子來說明，此例子是由安捷倫和群聯電子共同合作完成。第一版的封裝設計在量測過程中發現眼圖沒有通過規範，進一步用時域反射(TDR)量測發現，封裝的走線設計有過大的電容效應(圖7)。

圖7　LQFP眼圖與TDR量測結果

由於封裝內的Bond-wire短，電感性會減少，所以設計者直覺認為Bond-wire越短，阻抗控制就會比較好。但是，封裝內的Lead-frame會造成電容性的效應，這一部分是傳統數位工程師較少考慮到的。所以Bond-wire不是選擇最短的就可以，而是要找到適合的長度來補償Lead-frame的電容性(圖8)。藉由模擬軟體(模擬軟體版本是安捷倫EMPro2010)的運算就可以找到最佳的組合，阻抗控制在符合規格要求的振幅內，眼圖也就有更好的表現(圖9)。

圖8　Bond-wire長度對於阻抗的影響

圖9　改進後的眼圖量測與模擬結果

FDTD即時更新磁場值

FDTD也是一種全波形式的演算法，可用於分析任意3D的結構，直接以時域的方式針對馬克斯威爾方程式來求解，而矩陣中的未知數就像是FEM一樣，是立體結構空間中的電場與磁場。

然而，FEM的網格是三角錐形態，FDTD的網格通常是以正立方體的方式來表示。運用時域及時運算的程序，FDTD會即時地更新立體空間中的電場與磁場值，所以不像FEM必須完成所有收斂和後處理運算才能得知S參數。FDTD能隨時更新目前運算出來的S參數值。

FDTD演算法在近幾年受到許多工程專家的喜愛，有部分原因是因為記憶體使用效率較高同時可平行處理的特性，讓FDTD可藉由高階的顯示卡繪圖處理器(GPU)來做矩陣運算。現今複雜的工程模擬問題速度可比傳統電腦中央處理器(CPU)快二十至四十倍(圖10)。由於FDTD演算法的特性和優勢已被廣泛應用於天線模擬、生物核磁共振、電磁相容/電磁干擾(EMC/EMI)及光子傳輸等結構分析。

圖10　GPU卡可幫助FDTD運算速度提升

無線電子產品不斷推陳出新，尤其智慧型手機的設計複雜度不斷提升，也使得天線設計不只是天線本身的特性如效率、多頻段要加強，同時也必須符合許多法規的規範，例如特定吸收比(Specific Absorption Ratio, SAR)、助聽器相容性(Hearing Aid Compatibility, HAC)同時也要考慮成本的控制。而天線周圍有許多的元件如電池、相機也會干擾天線本身的特性，因此在天線設計初期就必須把整機機構一起放進去模擬，才能較準確地預估天線在實際狀況的表現。

圖11　人頭與手對於天線模擬的影響

因為FDTD網格的穩定性以及可藉由GPU卡加速，所以「手機機構＋天線＋人頭與手」這樣複雜的問題頗適合用FDTD來分析。圖11是模擬完成的S參數，可發現單純的手機天線和「人頭與手」的模型靠近手機時返回損失(Return Loss)的差別。同時，大多數的商業軟體都有先進的數據後處理功能，例如安捷倫的EMPro就可以針對SAR、HAC，以及內建多重輸入多重輸出(MIMO)的運算模組，協助天線工程師在初期設計階段就能確保天線的設計效能(圖12)。